Matemática Discreta. Tarea 5

Universidad abierta para adultos (UAPA)

Bienvenidos a la quinta semana de trabajo en la asignatura Matemática Discreta, en la que se realizarán las siguientes actividades:

EJERCICICIO SOBRE CUANTIFICADORES

I) Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones:

1. Ʉm ε Z+, Ǝn ε Z+, 2n = m

Para todo número entero positivo existe un numero (n) entero positivo que multiplicado por 2 será igual al número entero m. No se cumple porque si tengo un número impar en (m), no existe un número (n) que multiplicado por 2 me de ese número impar que contiene m: ejemplo m=5, n=3 si se expresa 2(3) = 5 donde se tendría como resultado 6 = 5 por ende es falsa.

• (Ʉx ε R), (Ǝy ε R) (xy = 1)

Para cualquier número real X existe un número real Y que al multiplicarlo con X será igual a 1.

Por ejemplo, X= 0 no existe un número que multiplicado por 0 el resultado sea 1 entonces esta proposición es falsa.

• (Ǝx ε R), (Ǝy ε R) (xy = 1)

Para algún número real X existe un número real Y que multiplicados entre si serán igual a 1. Por Ejemplo,     x  = 1 entonces esta proposición es verdadera.

II) Sea x: entero positivo. Determine valor de verdad de las proposiciones y justifique sus respuestas                                                

1. Ʉx [x ε pares Λ x ε impares] 

Cualquier entero positivo pertenece a los pares y a los impares. Un entero positivo solo puede ser par o impar no par e impar a la vez por lo tanto esta proposición es falsa.                        

• Ǝx [x = 5]  

Existe un número entero positivo x igual a 5.

Verdadero porque 5 es un numero entero positivo X=5.

• Ʉx [x ε pares Λ x ε primo]:

Todo número entero positivo pertenece a los números pares y a los números primos.

Esta proposición es falsa porque el único número entero par primo es el número 2.

• Ǝ! x [x ε pares Λ x ε primo]       

Existe un número único entero positivo que pertenece a los números pares y es un número primo. Esta proposición es verdadera porque 2 es un numero entero positivo par y es un número primo.

p	q	p Λ q
v	v	v

III) Sean (x, y) pares ordenados enteros positivo. Encuentre el valor de verdad y justifique su respuesta.

1. ᴲ! x, y [y = 2x +1]

Un par ordenado es una pareja de elementos dados en cierto orden; estos elementos pueden ser numéricos o de otra clase. (x, y) es un par ordenado de enteros positivos, x ≠ y, en donde x es el primer elemento llamado primera componente y y es el segundo elemento llamado segunda componente.

En este caso la proposición se leería:

Existe un único par ordenado de enteros positivos (x,y) donde  y sería igual a 2(x)+1.

Suponiendo que x es un numero cualquiera, por ejemplo, x=4 tendremos que y= 2(4) +1 = 9 entonces el par ordenado quedaría de esta forma (4,9) entonces la proposición es falsa porque se cumple para cualquier entero positivo no únicamente para un solo par ordenado.

• Ʉx, y [ y < x/3]

Esta proposición se lee:

Para todo par ordenado entero positivo Y es menor que x entre 3.

Esta proposición es falsa porque el número entero positivo más pequeño es el uno y Y que representa un número entero positivo no puede ser más pequeño que 1/3.

IV)  Sean x, y reales, encontrar valor de verdad y por qué.                     

1. Ʉx, y [ sen² x + cos² x = y] = Falso

Sen²x + Cos²x = 1 à 1 = 1

Falso porque solo se cumple cuando Y sea igual a 1.

•  ᴲx, y [sen² x + cos² x = y] = Verdadera

Sen²x + Cos²x = 1 à 1 = 1

Verdadero porque al menos se cumple para uno de los elementos.

• ᴲ! x, y [sen² x + cos² x = y] = falsa

Sen2x + Cos2x = 1 à 1 = 1

Porque no existe una única pareja en el que se cumpla esta proposición.

• Ʉx ᴲ! y [sen² x + cos² x = y] = Verdadera

Sen2x + Cos2x = 1 à 1 = 1

Verdadero porque existe un único valor y que este caso es 1 que si cumple con la proposición.

•  ᴲy Ʉx [ y > x²] = Falso

[y > x²]                 [y > x²]                       [y > x²]

2 > 1²                   4 > 2²                         6 > 4²

2 > 1                     4 > 4                          6 > 16

Falso, porque el enunciado no se cumple para toda la expresión.

•  Ʉx ᴲy [y > x²] = Falso

[y > x²]                 [y > x²]

10 > 4²                      5 > 2²

10 > 16                5 > 4

Falso, porque no se cumple para toda la expresión.

V) Dado el conjunto A= {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.   Determine el valor de verdad de cada uno de los siguientes enunciados:

1. (Ǝx Ɛ A) (X+2=9)

Proposición: Existe un número x que pertenece al conjunto A que al sumarle 2 es igual a 9.

Comprobamos:

(x + 2 =9)

7 + 2 = 9

9 = 9

Esta proposición es verdadera.

• (Ǝx Ɛ A) (X+5=10)

Existe un número que pertenece al conjunto A que al sumarle 5 es igual a 10.

Comprobamos:

(x + 5 = 10)

5 + 5 = 10

Esta proposición es verdadera

• (Vx Ɛ A) (X+2>9)

Para todo número que pertenece al conjunto A al sumarle dos será mayor que nueve.

(x + 2 > 9)

1 + 2 > 9

3 > 9

Es falsa porque que si le sumamos dos al primer elemento seria 3 y no es mayor que nueve.

• (Vx Ɛ A) (X+2<10)

Para todo número que pertenece al conjunto A al sumarle 2 será menor que 10.

Es verdadera, porque el número más alto del conjunto A es 7 y si le sumamos 2 será igual a 9         y nueve sigue siendo menor que 10.

X=7

(X+2<10)

7+2=9

9<10