Matemática Discreta. Tarea 6

Universidad abierta para adultos (UAPA)

Bienvenidos a la sexta semana de trabajo en la asignatura Matemática Discreta, en la que se realizarán las siguientes actividades:

Ejercicio o actividades sobre formas argumentales y argumentos.

I) Niegue las siguientes proposiciones aplicando las leyes de Morgan:

a) Para el conjunto de todos los números primos por lo menos un número primo es par. (Cierto)

Para el conjunto de los números primos, todos son números impares. (Falso)

b) Para todos dos números enteros positivos, su suma es 12. (Falso)

Para todo número entero, existe por lo menos una pareja cuya suma es no es igual a 12. (Cierto)

II) Completa correctamente los siguientes razonamientos:

a) p1: Todo bombero apaga el fuego.

p2: Juan es bombero.

c: Juan apaga el fuego.

b) p1: El cobre conduce calor

 p2: El oro conduce calor

 p3: La plata conduce calor

c: Todos los metales conducen calor

III) Determine el valor de verdad del siguiente argumento:

H1: 3+6= 8

H2: si 3+5= 8, entonces 8º = 1

H3: Si 8º = 1, entonces 5*5= 25

_________________

C: 3+6= 8 o 8º = 1

H1:P

H2:P → Q

H3: Q → R

C: P ∨ Q

P	Q	R	(P→ Q)	(Q → R)	(P v Q)	(P) ∧ (P → Q)	(P) ∧ (P → Q)         ∧ (Q →R)	[(P) ∧ (P → Q) ∧ (Q → R)] → (P ∨ Q)
V	V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	V	V	F	V
V	F	V	F	V	V	F	F	V
V	F	F	F	V	V	F	F	V
F	V	V	V	V	V	F	F	V
F	V	F	V	F	V	F	F	V
F	F	V	V	V	F	F	F	V
F	F	F	V	V	F	F	F	V

 [(P) ∧ (P → Q) ∧ (Q → R)] → (P ∨ Q)

Esta es tautología por lo que el argumento es válido.

P1: Si 5-4=3, entonces 3+5=8

P2: si 3+5=8, entonces 9⁰=1

P3: Si 9⁰=1, entonces 9×3=27

 __________________

C: 5-4=3 y 9×3=27

P1: P → Q

P2: Q → R

P3: R → S

C: P ∧ S

[(P → Q) ∧ (Q → R) ∧ (R → S)] → (P ∧ S)

P	Q	R	S	(P→Q)	(Q→R)	(R→S)	P∧ S	(P → Q) ∧ (Q → R)                ∧ (R → S)	[(P → Q) ∧ (Q → R)               ∧ (R → S)]               → (P ∧ S)
V	V	V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	V	F	V	V	F	F	F	V
V	V	F	V	V	F	V	V	F	V
V	V	F	F	V	F	V	F	F	V
V	F	V	V	F	V	V	V	F	V
V	F	V	F	F	V	F	F	F	V
V	F	F	V	F	V	V	V	F	V
V	F	F	F	F	V	V	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V	F	V	F
F	V	V	F	V	V	F	F	F	V
F	V	F	V	V	F	V	F	F	V
F	V	F	F	V	F	V	F	F	V
F	F	V	V	V	V	V	F	V	F
F	F	V	F	V	V	F	F	F	V
F	F	F	V	V	V	V	F	V	F
F	F	F	F	V	V	V	F	V	F

Esta es contingencia por lo cual la forma argumental es falsa y de esta forma se puede determinar que no es válida.

H1: Si un animal es mamífero entonces es vertebrado

H2: El perro es mamífero

 ___________________________________________

C: El perro es vertebrado

H1:P → Q

H2:P

C: Q

P	Q	(P→ Q)	(P → Q) ∧ P	[(P → Q) ∧ P] → Q
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	V	F	V
F	F	V	F	V

 [(P → Q) ∧ P] → Q

El valor de verdad es verdadero, esta corresponde a tautología, con esto se determinó que el argumento es válido.

IV) ¿Cuál es el valor de verdad de la siguiente forma argumental?

[(p ↔ q) ^ p] → ~ q:

p	q	~q	[(p ↔ q)	[(p ↔ q) ^ p	[(p ↔ q) ^ p ] → ~ q
V	V	F	V	V	F
V	F	V	F	F	V
F	V	F	F	F	V
F	F	V	V	F	V

Esta es contingencia, determinando que la forma argumental no es válida.

V) Utilice las reglas de inferencia para determinar el valor de verdad de las siguientes formas argumentales:

a) H1: P

    H2: P®Q

    H3: Q®R

     _________

    C: ┐P Λ R

H4: P ® R    S.H. H2, H3

H5: R             MPP 4,1

H6: P Λ R ADJ H1, H5

El argumento es inválido porque no cumple con las reglas de inferencias para llegar a la conclusión.

b) P1: P Λ Q

     P2: P®Q

     P3: Q®R

      _________

      C: ┐P Λ R

P4: P SIM P1

P5: Q MPP P2, P4

P6: R MPP P3, P5

P7: PΛ R ADJ P4, P6

[(P Λ Q) Λ (P ® Q) Λ (Q ® R)] ® (¬P Λ R)

P	Q	R	¬P	(P Λ Q)	(P→Q)	(Q → R)	(¬P Λ R)	(P Λ Q) Λ (P→Q) Λ (Q → R)	[(P Λ Q) Λ (P→Q) Λ (Q → R)] → (¬P Λ R)
V	V	V	F	V	V	V	F	V	F
V	V	F	F	V	V	F	F	F	V
V	F	V	F	F	F	V	F	F	V
V	F	F	F	F	F	V	F	F	V
F	V	V	V	F	V	V	V	F	V
F	V	F	V	F	V	F	F	F	V
F	F	V	V	F	V	V	V	F	V
F	F	F	V	F	V	V	F	F	V

El argumento no es válido

c) H1: P → Q

    H2: R → ~S

    H3: Q ˄~S

    _______________________

   C: (~P ↔ R) → (Q V ~S)

H4: (~ Q → ~P) LCR H1

H5: (S → ~ R) LCRH2

H6: (~ Q v S) LM H2

H7: (~ P v ~ R) DC H4, H5, H6

H8: (P→~R) NOTA: Esto sería una parte de esta expresión lógica.  ~ (P↔R).

H9: (Q v ~P) LC H4

H10: (~ Q ˄P) LM H9

H11: ~Q SIM H10

H12: ~S SIM H3

H13: (~ Q ˄ ~ S) ADJ H10, H11

H14: (Q v S) LM H13

H15: (~Q→S) LC-INV H14

H16: S MPP H14, H11

H17: (~ Q ˄ S) ADJ H11, H16

C: [ (P→~R) ˄ (~Q→S)] ADJ H8, H17

C: [ (~P v ~R) ˄ (~Q→S)] NOTA: Se aplico LC en primer término para convertirlo en una disyunción.

C: ~ [ (~P v ~R) ˄ (~Q ˄ S)] NOTA: se aplicar LM en la expresión.

C: (P ˄ R) v (Q v ~S) NOTA: se aplica LC a la expresión completa.

C: ~ (P ˄ R) → (Q v ~S) NOTA: Se aplica la negación al primer término.

C: (~P v ~R) → (Q v ~S) NOTA: se aplica LC al primer término.

C: (P→~R) → (Q v ~S)

Expresamos anterior mente que (P→~R) es una parte de ~ (P↔R).

~ (P↔R) = (P→~R) ˄(~P→R)

Si aplicamos la ley de simplificación a esa expresión puedo tomar la expresión

(~P→R) como validad para así tener la demostración del ejercicio.

 C: (~P↔R) → (Q v ~S) solución del problema.

[(P → Q) Λ (R → ~S) Λ (Q ˄~S)] → (~P ↔ R) → (Q V ~S)

P

Q

R

S

~P

~S

(P→Q)

(R→~S)

(Q ˄~S)

(P → Q) Λ (R → ~S) Λ (Q ˄~S)

(~P ↔ R)

(Q V ~S)

(~P ↔ R) → (Q V ~S)

(P → Q) Λ (R → ~S) Λ (Q ˄~S) → (~P ↔ R) → (Q V ~S)

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

V

V

V

V

V

F

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

V

F

F

F

F

V

F

F

F

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

V

F

F

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

F

V

V

F

V

V

V

V

F

V

V

V

V

F

V

F

F

F

V

V

V

V

F

V

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

V

V

F

F

F

V

V

V

F

V

F

F

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

F

F

V

V

V

F

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

F

V

V

V

V

V

V

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

V

F

F

V

V

F

F

F

F

V

V

V

V

V

V

F

V

V

V

VI) Compruebe que las siguientes reglas de inferencias son tautologías:

P	Q	[(P®Q)	[(P→Q) ˄ P]	[(P→Q) ˄ P] → Q
V	V	V	V	V
V	F	V	V	V
F	V	F	F	V
F	F	F	F	V

 [(P→Q) ˄ P] → Q

Es una tautología

[(P→Q) ˄ ¬Q] → ¬P

P	Q	¬P	¬Q	[(P®Q)	[(P→Q) ˄ ¬Q]	[(P→Q) ˄ ¬Q] → ¬P
V	V	F	F	V	F	V
V	F	F	V	F	F	V
F	V	V	F	V	F	V
F	F	V	V	V	V	V

Es una tautología

[(P v Q) ˄ ¬P] → Q

P	Q	¬P	[(P v Q)	[(P v Q) ˄ ¬P]	[(P v Q) ˄ ¬P] → Q
V	V	F	V	F	V
V	F	F	V	F	V
F	V	V	V	V	V
F	F	V	F	F	V

Es una tautología

[(P→Q) ˄ (Q→R)] → (P→R)

P	Q	R	[(P → Q)	(Q→R)]	[(P→Q) ˄ (Q→R)]	(P→R)	[(P→Q) ˄ (Q→R)] → (P→R)
V	V	V	V	V	V	V	V
V	V	F	V	F	F	F	V
V	F	V	F	V	F	V	V
V	F	F	F	V	F	F	V
F	V	V	V	V	V	V	V
F	V	F	V	F	F	V	V
F	F	V	V	V	V	V	V
F	F	F	V	V	V	V	V

Es una tautología

[P ˄ Q] → (P ˄ Q)

P	Q	[P ˄ Q]	(P ˄ Q)	[P ˄ Q] → (P ˄ Q)
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	F	F	V
F	F	F	F	V

Es una tautología

[(P ˄ Q)] → P ˄ Q

P	Q	(P ˄ Q)	[P ˄ Q]	[P ˄ Q] → (P ˄ Q)
V	V	V	V	V
V	F	F	F	V
F	V	F	F	V
F	F	F	F	V

Es una tautología

P → (P v Q)

P	Q	(P v Q)	P → (P v Q)
V	V	V	V
V	F	V	V
F	V	V	V
F	F	F	V

Es una tautología

VII) Compruebe la equivalencia lógica en cada caso:

P	Q	P®Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Equivalencia de la implicación y disyunción P®Q = ┐P v Q

P	Q	┐P	┐P v Q
V	V	F	V
V	F	F	F
F	V	V	V
F	F	V	V

Son equivalentes

Equivalencia de la doble negación ┐┐P = P

P	┐P	┐┐P
V	F	V
F	V	F

P

V

F

Son equivalentes

Equivalencia de la ley de Morgan ┐ (P v Q) = ┐P ˄ ┐Q

P	Q	(P v Q)	┐ (P v Q)
V	V	V	F
V	F	V	F
F	V	V	F
F	F	F	V

P	Q	┐P	┐Q	┐P ˄ ┐Q
V	V	F	F	F
V	F	F	V	F
F	V	V	F	F
F	F	V	V	V

Son equivalentes

Equivalencia de la ley de Morgan ┐ (P v Q) = ┐P v┐Q

P	Q	(P v Q)	┐ (P v Q)
V	V	V	F
V	F	V	F
F	V	V	F
F	F	F	V

P	Q	┐P	┐Q	┐P v ┐Q
V	V	F	F	F
V	F	F	V	V
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

No son equivalentes

Equivalencia de la contra positiva P®Q = ┐Q ® ┐P

P	Q	P ® Q
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

P	Q	┐P	┐Q	┐Q ® ┐P
V	V	F	F	V
V	F	F	V	F
F	V	V	F	V
F	F	V	V	V

Son equivalentes